在前面，我们已经学了各种集合系的概念、测度的定义和性质、外测度、测度的扩张和测度空间的完备化。今天主要记录可测函数的收敛性，这部分内容和数学分析是比较相似的。

1.补充可测函数的概念，之前没有说清楚：

1.1 Borel集合系 我们知道 σ \sigma σ域对交、补、可列并运算是封闭的。特别地，我们把 R n \mathbb R^n Rn上由一切开集构成的开集族，其生成的 σ \sigma σ域称作 R n \mathbb R^n Rn的Borel σ \sigma σ域，其中的集合称为Borel集。我们用 B R \mathscr B_{\mathbf R} BR​表示 R \mathbb R R上的Borel集合系。根据定义，也即： B R = σ ( O R ) \mathscr B_{\mathbf R} = \sigma(\mathscr O_{\mathbf R}) BR​=σ(OR​) 其中 O R \mathscr O_{\mathbf R} OR​是 R \mathbb R R中开集组成的集合系。

1.2 可测函数 我们知道，正负无穷是特殊的数。为此定义广义实数集： R ′ = R ∪ { − ∞ } ∪ { + ∞ } \mathbf R'=\mathbb R \cup \{-\infty\} \cup \{+\infty\} R′=R∪{−∞}∪{+∞}.相应地，定义 R ′ \mathbf R' R′上的Borel集合系： B R ′ = σ ( B R , { + ∞ } , { − ∞ } ) \mathscr B_{\mathbf R'} = \sigma(\mathscr B_{\mathbf R},\{+\infty\},\{-\infty\}) BR′​=σ(BR​,{+∞},{−∞}) 因此，从测度空间 ( X , F ) (X,\mathscr F) (X,F)到 ( R ′ , B R ′ ) (\mathbf R',\mathscr B_{\mathbf R'} ) (R′,BR′​)的可测映射称为 ( X , F ) (X,\mathscr F) (X,F)上的可测函数。 可以看到，可测函数的函数值可以是无穷大。相应地，如果函数是从 ( X , F ) (X,\mathscr F) (X,F)到 ( R , B R ) (\mathbf R,\mathscr B_{\mathbf R} ) (R,BR​)上的映射，就可以叫做有限值可测函数。随机变量就是一种有限值可测函数。   \space  

2.可测函数的收敛性

首先先学习三个概念：几乎处处收敛；几乎一致收敛；按测度收敛。

2.1几乎处处收敛 这里的收敛性都是强调几乎(almost)，顾名思义，几乎怎样就是不怎样的概率（测度）是0. 定义1： 设 { f n } \{f_n\} {fn​}和 f f f是测度空间 ( X , F , μ ) (X,\mathscr F,\mu) (X,F,μ)上的可测函数，若 μ ( lim ⁡ n → ∞ f n ≠ f ) = 0 \mu(\lim_{n\to\infty}f_n\ne f)=0 μ(n→∞lim​fn​​=f)=0 则说可测函数列 { f n } \{f_n\} {fn​}几乎处处(almost everywhere,a.e.)以 f f f为极限。如果， f f f几乎处处有限且 f n → a . e . f f_n \stackrel{a.e.}{\rightarrow}f fn​→a.e.f，则称 { f n } \{f_n\} {fn​}几乎处处收敛至 f f f. 上面的式子也可写为： μ ( lim ⁡ n → ∞ f n = f ) = μ ( X ) \mu(\lim_{n\to\infty}f_n= f)=\mu(X) μ(n→∞lim​fn​=f)=μ(X) 当然，在概率空间中，等号右边的值就是1. 将 { lim ⁡ n → ∞ f n ≠ f } \{\lim_{n\to\infty}f_n\ne f\} {limn→∞​fn​​=f}写成集合极限的形式（我认为是上极限），有如下命题： 命题1： f n → a . e . f f_n \stackrel{a.e.}{\rightarrow}f fn​→a.e.f当且仅当 μ ( ∩ m = 1 ∞ ∪ n = m ∞ { ∣ f n − f ∣ ≥ ε } ) = 0 \mu (\cap_{m=1}^\infty \cup_{n=m}^\infty \{|f_n-f|\ge \varepsilon\})=0 μ(∩m=1∞​∪n=m∞​{∣fn​−f∣≥ε})=0

2.2 几乎一致收敛

定义2： 设 { f n } \{f_n\} {fn​}和 f f f是测度空间 ( X , F , μ ) (X,\mathscr F,\mu) (X,F,μ)上的可测函数，若对任给 ε > 0 , ∃ A ∈ F ： μ ( A ) < ε \varepsilon>0,\exists A\in \mathscr F：\mu(A)0,∃A∈F：μ(A) 0 \varepsilon>0 ε>0: lim ⁡ n → ∞ μ ( f n − f ∣ ≥ ε ) = 0 \lim_{n\to\infty}\mu (f_n-f|\ge \varepsilon)=0 n→∞lim​μ(fn​−f∣≥ε)=0 则称 f n → μ f f_n \stackrel{\mu}{\rightarrow}f fn​→μf.

2.4 三者的关系 如前所述，几乎一致收敛是最严格的，因此： f n → q . u . f ⇒ f n → a . e . f ， f n → μ f f_n \stackrel{q.u.}{\rightarrow}f \Rightarrow f_n \stackrel{a.e.}{\rightarrow}f ， f_n \stackrel{\mu}{\rightarrow}f fn​→q.u.f⇒fn​→a.e.f，fn​→μf 在测度有限的条件下，a.e.收敛和a.u.收敛等价。

3.讨论概率空间 对概率空间 ( X , F , P ) (X,\mathscr F,P) (X,F,P)来说，依测度收敛就称作依概率收敛。对于之前说过的准分布函数（单调非降右连续） F F F，若满足 lim ⁡ x → + ∞ F ( x ) = 1 , lim ⁡ x → − ∞ F ( x ) = 0 \lim_{x\to + \infty}F(x)=1,\lim_{x\to - \infty}F(x)=0 limx→+∞​F(x)=1,limx→−∞​F(x)=0,则其称作分布函数，定义为： F ( x ) = P { f ≤ X } F(x)=P\{f \le X\} F(x)=P{f≤X} 且称 f f f服从 F F F.

定义4.左连续逆 设 F F F是一准分布函数， t ∈ ( F ( − ∞ ) , F ( + ∞ ) ) t\in(F(-\infty),F(+\infty)) t∈(F(−∞),F(+∞))，令 F ← ( t ) = inf ⁡ { x ∈ R : F ( x ) ≥ t } F^{\leftarrow}(t)=\inf \{x\in\R :F(x)\ge t\} F←(t)=inf{x∈R:F(x)≥t} 为 F F F的左连续逆。

理解：逆的概念，自然是单独的自变量和函数值的关系，在这里，定义为使得 F F F大于某个值的自变量的下确界。想象 F F F是一个阶梯状的分布函数，则对于某一个 t t t的范围，其左连续逆是同一个 x x x。则有如下充要关系： F ← ( t ) ≤ x ⇔ F ( x ) ≥ t F^{\leftarrow}(t)\le x \Leftrightarrow F(x)\ge t F←(t)≤x⇔F(x)≥t

定理5. 对任何概率分布函数 F F F，必存在一个概率空间 ( X , F , P ) (X,\mathscr F,P) (X,F,P)和其上的一个随机变量 f f f，使得 f ∼ F f \sim F f∼F。

证明：考虑均匀分布的分布函数： U ( t ) = t , ∀ t ∈ ( 0 , 1 ) U(t)=t,\forall t \in (0,1) U(t)=t,∀t∈(0,1)，考察一个复合函数 F ← ∘ U F^{\leftarrow} \circ U F←∘U: